Cos'è funzione di trasferimento?

Funzione di Trasferimento

La funzione di trasferimento è una rappresentazione matematica della relazione tra l'ingresso e l'uscita di un sistema lineare tempo-invariante (LTI). In termini più semplici, descrive come un sistema modifica o trasforma un segnale di ingresso per produrre un segnale di uscita.

Formalmente, la funzione di trasferimento, indicata comunemente con H(s), è definita come il rapporto tra la trasformata di Laplace dell'uscita Y(s) e la trasformata di Laplace dell'ingresso X(s), assumendo condizioni iniziali nulle:

H(s) = Y(s) / X(s)

Dove:

  • s è la variabile complessa della trasformata di Laplace (s = σ + jω).
  • X(s) è la trasformata di Laplace del segnale di ingresso.
  • Y(s) è la trasformata di Laplace del segnale di uscita.

Importanza della Funzione di Trasferimento:

  • Analisi di Sistemi: Permette di analizzare la stabilità, la risposta in frequenza e la risposta al gradino di un sistema.
  • Progettazione di Sistemi di Controllo: È fondamentale nella progettazione di controllori per sistemi, permettendo di modellare il comportamento del sistema ad anello chiuso.
  • Simulazione: Permette di simulare il comportamento di un sistema senza dover risolvere equazioni differenziali complesse.

Rappresentazione della Funzione di Trasferimento:

Una funzione di trasferimento è tipicamente espressa come un rapporto di polinomi in s:

H(s) = (b<sub>m</sub>s<sup>m</sup> + b<sub>m-1</sub>s<sup>m-1</sup> + ... + b<sub>1</sub>s + b<sub>0</sub>) / (a<sub>n</sub>s<sup>n</sup> + a<sub>n-1</sub>s<sup>n-1</sup> + ... + a<sub>1</sub>s + a<sub>0</sub>)

Dove:

  • b<sub>i</sub> sono i coefficienti del polinomio al numeratore.
  • a<sub>i</sub> sono i coefficienti del polinomio al denominatore.
  • m è l'ordine del numeratore.
  • n è l'ordine del denominatore.

Poli e Zeri:

  • I poli sono i valori di s che rendono il denominatore della funzione di trasferimento uguale a zero. Essi determinano la stabilità del sistema.
  • Gli zeri sono i valori di s che rendono il numeratore della funzione di trasferimento uguale a zero. Essi influenzano la risposta del sistema a determinate frequenze.

Stabilità:

Un sistema è considerato stabile se tutti i poli della sua funzione di trasferimento hanno parte reale negativa. Se uno o più poli hanno parte reale positiva, il sistema è instabile. I poli sull'asse immaginario indicano una stabilità marginale. L'analisi della stabilità di un sistema può essere effettuata tramite diversi metodi, come il criterio di Nyquist o il criterio di Routh-Hurwitz.

Risposta in Frequenza:

La risposta%20in%20frequenza di un sistema è ottenuta valutando la funzione di trasferimento H(s) con s = jω, dove ω è la frequenza angolare. La risposta in frequenza è solitamente rappresentata tramite diagrammi di Bode, che mostrano l'ampiezza e la fase di H(jω) in funzione della frequenza.

Applicazioni:

La funzione di trasferimento trova applicazione in diversi campi, tra cui:

  • Ingegneria Elettrica: Analisi e progettazione di circuiti, filtri e sistemi di controllo.
  • Ingegneria Meccanica: Modellazione e controllo di sistemi meccanici, come robot e veicoli.
  • Ingegneria Chimica: Controllo di processi chimici e reattori.
  • Ingegneria Aerospaziale: Controllo di volo di aeromobili e satelliti.